概述
ANC指Active Noise Control，主动降噪。基本原理是降噪系统产生与外界噪音相等的反向声波，将噪音中和。图1是feedforward式主动降噪耳机的示意图。ANC芯片放置在耳机内。Ref mic（reference microphone）在耳机耳罩上，采集环境噪音。Error mic（Error Microphone）在耳机内，采集降噪处理后的残差噪声。Speaker播放ANC处理后的anti-noise。
图1
原理
图2
图2是ANC系统的原理图，一共三层，用虚线分隔。最上一层primary path是从ref mic到error mic的声学通道，响应函数用P(z) 表示；中间一层是模拟通道，其中secondary path是adaptive filter输出到返回残差的通路，包括DAC、reconstruction filter、power amplifier、speaker播放、再采集、pre-amplifier、anti-aliasing filter、ADC；最下一层是数字通路，其中adaptive filter不断调整滤波器权系数来削减残差，直到收敛。最常用的方案是用FIR滤波器结合LMS算法来实现adaptive filter。简化图2，得到图3。
图3
先简要说几句adaptive filter和LMS（Least mean square）算法的原理，再说图3。如图4，给定输入x 和desired output d ，adaptive filter每次迭代会更新系数，使其输出y 与d 之差越来越小，直到残差足够接近0且收敛。LMS是adaptive filter的一种更新算法。LMS的目标函数是瞬时误差的平方e 2 (n)=(d(n)−y(n)) 2 ，为了minimize目标函数，对其应用梯度下降就得到算法的更新公式。（这种利用gradient descent来最小化某个objective，从而得到待求参数的更新公式的算法思想非常常见，比如linear regression。）采用FIR滤波器的LMS算法的更新公式为：w(n+1)=w(n)+μe(n)x(n) ，其中μ 为step size。如果随着迭代进行调整μ 的大小，就是变步长的LMS算法。
图4
再来说图3。这里adaptive filter输出后还要经过S(z) 才去和desire output比较，S(z) 会引起instability，用文献的话说，“the error signal is not correctly ‘aligned’ in time with the reference signal”，破坏了LMS的收敛性。（这里还没弄懂什么意思T__T）一种有效的方法是FXLMS（Filtered-X LMS），也就让x(n)经过S ˆ (z) 再输入给LMS 模块， S ˆ (z) 是S(z) 的估计。FXLMS的objective：
e 2 (n)=(d(n)−s(n)∗[w T (n)x(n)]) 2 ,
所以gradient=−2e(n)s(n)∗x(n) ，其中s(n) 未知，用其estimate近似，所以FXLMS的更新公式是
w(n+1)=(w(n)+μe(n)x ′ (n)) 2 ,
其中x ′ (n)=s ˆ (n)∗x(n) 。
当adaptive filter收敛时，E(z)=X(z)P(z)−X(z)W(z)S(z)≈0 ，因此W(z)≈P(z)/S(z) 。也就是说，自适应滤波器的权系数是由耳机的primary path和secondary path决定的。耳机的primary path和secondary path相对稳定，所以adaptive filter的权系数也相对稳定。因此为实现简单，某些厂家的ANC耳机的权系数在出厂时就确定了。当然这种ANC耳机的听感体验明显不及具有真正自适应意义的ANC耳机，因为在实际情况下，外部噪声相对耳机的方向、不同温度等因素会对耳机的通道响应有影响。
Matlab验证
写Matlab代码，用变步长LMS的adaptive filter，得仿真结果如图5。在0到2KHz范围内，利用feedforward ANC消高斯白噪，噪声衰减平均30dB+。Matlab库里的FXLMS是定步长的，效果要差一些。
图5
Q&A
遇到的困惑写出来分享一下。
1. ANC为什么只针对2kHz以下的低频噪音？
一方面，耳机的物理隔音方式（被动降噪）可以有效阻挡高频噪音，没必要用ANC降高频噪声。另一方面，低频噪声波长较长，可以承受一定的相位延迟，而高频噪声波长短，对相位偏差敏感，因此ANC消高频噪声并不理想。
2. 当electronic delay比primary delay大时，算法性能大大下降如何理解？
P(z)延时小，S(z)延时大，比如P(z)=z-1, S(z)=z-2，只有当W(z)=z才能满足要求，非因果，unreachable。
3. Feedforward ANC、narrow-band feedforward ANC、feedback ANC有什么区别？
Feedforwad结构有一个ref mic和一个error mic，分别采集外部噪音和内部残差信号。feedback结构只有一个error mic，由error mic和adaptive filter output生成reference signal。
Broad-band feedforward就是上面所述结构，而narrow-band结构中，noise source会产生某个signal触发signal generator，signal generator再生成reference signal送给adaptive filter。只适用于消除periodic noise。
Feedback ANC由于只有error mic，用error mic来恢复feedforward结构中ref mic采集的信号，通路不满足因果约束，因此只消除predictable noise components，即窄带周期性噪声。需要注意的是，feedforward如果不满足因果约束，即electronic delay比主通道acoustic delay长的话，也只能消除窄带周期性噪声。
另外还有一种Hybrid ANC的结构，同时包含feedforward和feedback结构，主要的优点是可以节省自适应滤波器的阶数。
Reference
主要参照[1]，非常详细的一篇tutorial review，书[2]详细推导和说明了[1]中的细节。图1截自jabra官网，图2和图3来自[3]，图4来自Wikipedia。
[1]: Kuo S M, Morgan D R. Active noise control: a tutorial review[J]. Proceedings of the IEEE, 1999, 87(6):943-973.
[2]: Kuo S M, Morgan D. Active Noise Control Systems: Algorithms and DSP Implementations[M]. John Wiley & Sons, Inc. 1996.
[3]: Kajikawa Y, Gan W S, Kuo S M. Recent advances on active noise control: open issues and innovative applications[J]. Apsipa Transactions on Signal & Information Processing, 2012, 1(2):e3.
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